"До бескраја и преко!"
Јесте ли чак дубоко размишљали о чувеној фразу Бузз Лигхтиеар из филмова "Прича о играчкама"? Вероватно не. Али можда сте понекад погледали у ноћно небо и питали се о природи саме бесконачности.
Бесконачност је чудан концепт, онај који људски мозак тешко проводи кроз своје ограничено разумевање. Кажемо да је свемир можда бесконачан, али може ли то заиста заувек да траје? Или цифре пи након децималног знака - да ли заправо раде бесконачно, увек нам дају тако прецизнију у односу између опсега круга и радијуса? И, може ли Бузз бити у праву? Постоји ли нешто изван бесконачности?
Да би се изборио са овим нагађањима, Ливе Сциенце је привукао помоћ математичара Хенрија Товснера са Универзитета Пеннсилваниа у Пхиладелпхији, који је био љубазан да покуша одговорити на питање: "Можете ли рачунати прошлост бесконачности?" (Будите упозорени: ово ће постати комплицирано.)
Бесконачност, рекао је Товснер, сједи на чудном месту: Већина људи осећа као да има неку интуицију о овом концепту, али што више о њему размишљају, чудније то добија.
Математичари, с друге стране, често не мисле о бесконачности као концепту, додао је. Уместо тога, они користе различите начине да размисле о томе како би дошли до његових многих аспеката.
На пример, постоје различите величине бесконачности. То је доказао немачки математичар Георг Цантор касних 1800-их, према историји са Универзитета Ст. Андревс у Шкотској.
Кантор је знао да природни бројеви - то су цели, позитивни бројеви попут 1, 4, 27, 56 и 15,687 - настављају заувек. Они су бесконачни, а они су такође оно што користимо да пребројавамо ствари, па их је дефинисао као "неизмерно бесконачне", према корисном месту о историји, математици и другим темама едукативног карикатуриста Цхарлеса Фисхера Цоопера.
Групе безброј бесконачних бројева имају занимљива својства. На пример, парни бројеви (2, 4, 6, итд.) Су такође неизмерно бесконачни. И док их технички има упола мање него што их обухвата читав низ природних бројева, они су и даље исте врсте бесконачни.
Другим речима, све парне бројеве и све природне бројеве можете да поставите један поред другог у два ступца, а оба ступаца иду у бесконачност, али су иста "дужина" бесконачности. То значи да је половина бројачке бесконачности још увек бесконачност.
Али Цанторин је велики увид био да схвати да постоје и други скупови бројева који су неописиво бесконачни. Стварни бројеви - који укључују природне бројеве, као и фракције и ирационалне бројеве попут пи - су бесконачнији од природних бројева. (Ако желите да знате како је Цантор то урадио и да се може носити са неким математичким записима, погледајте овај радни лист са Универзитета у Мејну.)
Ако бисте поставили све природне бројеве и све стварне бројеве један поред другог у два колона, стварни бројеви би се протезали изван бесконачности природних бројева. Касније је Цантор полудио, вјероватно из разлога који нису били повезани с његовим бесконачним радом, према Цоопер-у.
Шта се рачуна?
Дакле, вратимо се питању бројања прошле бесконачности. "Оно због чега математика те пита је:" Шта то заиста значи? ", Рекао је Товснер. "Како то мислиш бројећи прошлост бесконачности?"
Како би дошао до питања, Товснер је разговарао о редним бројевима. За разлику од кардиналних бројева (1, 2, 3 и тако даље), који вам говоре колико је ствари постављено у скупу, ординали су дефинисани њиховим положајима (први, други, трећи, итд.), А у математику су их увели и Кантор, према математском веб месту Волфрам МатхВорлд.
У редним бројевима је појам назван омега, означен грчким словом ω, рекао је Товснер. Симбол ω је дефинисан као ствар која долази после свих осталих природних бројева - или, како ју је назвао Цантор, први трансфинитирани ординал.
Али једна од ствари која се тиче бројева је та што увек можете да додате још један на крају, рекао је Товснер. Дакле, постоји таква ствар као ω + 1, ω + 2, па чак и ω + ω. (У случају да се питате, на крају погодите број зван ω1, који је познат као први небројиви ординал.)
А пошто је бројање на неки начин попут додавања додатних бројева, ови концепти на неки начин омогућавају да се преброји прошлост, рекао је Товснер.
Чудност свега тога дио је разлога због којег математичари инсистирају на строгом одређивању њихових услова, додао је. Ако све није у реду, тешко је одвојити нашу нормалну људску интуицију од онога што се математички може доказати.
"Математика вам говори:" Интроспектно дубоко, шта се рачуна? "Рекао је Товснер.
За нас обичне смртнике, ове идеје би могле бити тешке за потпуно израчунавање. Како се тачно раде математичари у свом свакодневном истраживању?
"Много тога је пракса", рекао је Товснер. „Развијате нове интуиције са излагањем, а када интуиција не успе, можете рећи:„ Говоримо о овом тачном строгом доказу корак по корак “. Ако је овај доказ изненађујући, још увек можемо да проверимо да ли је тачан, а затим да научимо да развијамо нову интуицију око тога “.
