Да ли је тим математичара учинио велики корак ка одговору на 160-годишње старо питање у вези математике са милионима долара?
Можда. Посада је решила низ других, мањих питања у пољу званом теорија бројева. И чинећи то, поново су отворили стару авенију која би на крају могла довести до одговора на старо питање: Да ли је Риеманнова хипотеза тачна?
Реиманнова хипотеза је основна математичка претпоставка која има огромне импликације на остатак математике. То је основа многих других математичких идеја - али нико не зна да ли је то истина. Његова важност постала је једно од најпознатијих отворених питања из математике. То је један од седам „Миленијумских проблема“ постављених 2000. године, уз обећање да ће онај ко их реши освојити милион долара. (Од тада је решен само један проблем.)
Одакле та идеја?
Још давне 1859. године, немачки математичар по имену Бернхард Риеманн предложио је одговор на нарочито бодљику математичку једначину. Његова хипотеза иде овако: Стварни део сваке не тривијалне нуле Риеманнове зета функције је 1/2. То је прилично апстрактна математичка изјава, везана за то које бројеве можете ставити у одређену математичку функцију да би та функција била једнака нули. Али испада да има велику важност, што је најважније у вези са питањима колико често ћете наићи на основне бројеве док рачунате до бесконачности.
На детаље хипотезе враћамо се касније. Али оно што је важно знати сада је да ако је Риеманнова хипотеза тачна, она ће одговарати на многа питања из математике.
"Тако често у теорији бројева оно што се на крају догађа је ако претпоставите Риеманнову хипотезу, онда сте у могућности да докажете све врсте других резултата", Лола Тхомпсон, теоретичарка броја на Оберлин колеџу у Охају, која није била укључена у овом последњем истраживању, рекао је.
Често је, рекла је Ливе Сциенце, теоретичари бројева прво доказати да је нешто истина ако је Риеманнова хипотеза тачна. Тада ће тај доказ користити као својеврсни одскочни корак ка замршенијем доказу, који показује да је њихов оригинални закључак тачан без обзира да ли је Риеманнова хипотеза тачна или не.
Чињеница да овај трик делује, рекла је, убеди многе математичаре да Риеманнова хипотеза мора бити тачна.
Али истина је да то нико сигурно не зна.
Мали корак ка доказу?
Па како се чини да нас је овај мали тим математичара приближио рјешењу?
"Оно што смо урадили у свом раду," рекао је Кен Оно, теоретичар броја на Универзитету Емори и коаутор новог доказа, "да ли смо ревидирали врло технички критеријум који је еквивалентан Риеманновој хипотези ... и показали смо се великим део тога. Доказали смо велики део овог критеријума. "
"Критеријум који је еквивалентан Риеманновој хипотези", у овом се случају односи на засебну изјаву која је математички једнака Риеманновој хипотези.
На први поглед није очито зашто су те две изјаве толико повезане. (Критеријум има везе са нечим што се назива "хиперболичност Јенсенових полинома.") Али у 1920-им мађарски математичар Георге Полиа доказао је да ако је овај критеријум тачан, онда је Риеманнова хипотеза тачна - и обрнуто. То је стари предложени пут ка доказивању хипотезе, али онај који је у великој мери напуштен.
Оно и његове колеге су у раду објављеном 21. маја у часопису Процеедингс оф тхе Натурал Ацадеми оф Сциенцес (ПНАС) доказали да је критеријум у многим, многим случајевима тачан.
Али у математици многи нису довољни да би се могли сматрати доказом. Још увијек постоје случајеви у којима се не зна је ли критериј истинит или лажан.
"То је попут играња Повербалл-а са милионима", рекао је Оно. "А знате све бројеве, али последњих 20. Ако је чак и један од тих последњих 20 бројева погрешан, изгубили сте ... И даље би се могли распасти."
Истраживачи ће морати да пронађу још напреднији доказ да би показали да је критеријум тачан у свим случајевима, чиме би доказали Риеманнову хипотезу. А није јасно колико је такав доказ далеко, рекао је Оно.
Па, колико је овај посао велики?
У погледу Риеманнове хипотезе, тешко је рећи колико је то велика ствар. Много тога зависи шта ће се даље догодити.
"Ово је само једна од многих еквивалентних формулација Риеманнове хипотезе", рекао је Тхомпсон.
Другим речима, постоји мноштво других идеја које би, попут овог критеријума, доказале да је Риеманнова хипотеза тачна ако су и саме доказане.
"Дакле, заиста је тешко знати колики је то напредак, јер је с једне стране постигнут напредак у овом правцу. Али, постоји толико много еквивалентних формулација да можда овај смер неће дати Риеманнову хипотезу. Можда једна од друге еквивалентне теореме ће уместо тога, ако неко може да докаже једну од њих, "рекао је Томпсон.
Ако се доказ покаже на овом трагу, то ће вероватно значити да су Оно и његови колеге развили важан темељни оквир за решавање Риеманнове хипотезе. Али ако се појави негде другде, испадаће да је овај рад мање важан.
Ипак, математичари су импресионирани.
"Иако је ово још далеко од доказивања Риеманнове хипотезе, то је велики корак напријед", написао је Енцрицо Бомбиери, теоретичар броја из Принцетона који није био укључен у истраживање тима, написао је у пратећем чланку ПНАС од 23. маја. "Нема сумње да ће овај рад надахнути даљи фундаментални рад у другим областима теорије бројева, као и математичке физике."
(Бомбиери је 1974. године освојио Филдсову медаљу - најпрестижнију награду у математици, у великом делу за рад повезан са Риеманновом хипотезом.)
Шта уопште значи Риеманнова хипотеза?
Обећао сам да ћемо се вратити овоме. Ево поново Риеманнове хипотезе: Реални део сваке не тривијалне нуле Риеманнове зета функције је 1/2.
Хајде да то разделимо према начину на који су то објаснили Тхомпсон и Оно.
Прво, шта је Риеманнова зета функција?
У математици, функција је однос између различитих математичких величина. Једноставно може изгледати овако: и = 2к.
Риеманнова зета функција следи исте основне принципе. Само што је то много сложеније. Ево како то изгледа.
То је збир бесконачног низа, при чему се сваки израз - првих неколико 1/1 с, 1/2 ^ с и 1/3 ^ с - додаје претходним терминима. Те елипсе значе да се серија у функцији наставља тако, заувек.
Сада можемо да одговоримо на друго питање: Шта је нула Риеманнове зета функције?
Ово је лакше. "Нула" функције је било који број који можете унети за к који функцију доводи до једнаке нули.
Следеће питање: Који је "стварни део" једне од тих нула и шта значи да је једнака 1/2?
Риеманнова зета функција укључује оно што математичари називају "сложеним бројевима". Сложен број изгледа овако: а + б * и.
У тој једначини, "а" и "б" означавају било које стварне бројеве. Стварни број може бити било шта од минус 3, до нуле, до 4.9234, пи или 1 милијарде. Али постоји и друга врста бројева: имагинарни бројеви. Замишљени бројеви се појављују када узмете квадратни корен негативног броја и они су важни, приказују се у свим врстама математичког контекста.
Најједноставнији имагинарни број је квадратни корен -1, који је написан као "и". Сложен број је стварни број („а“) плус још један стварни број („б“) пута и. "Прави део" сложеног броја јесте "а".
Неколико нула Риеманнове зета функције, негативни цели бројеви између -10 и 0, не рачунају Реиманнову хипотезу. То се сматрају „тривијалним“ нулама јер су то стварни бројеви, а не сложени бројеви. Све остале нуле су "нетривијални" и сложени бројеви.
Риеманнова хипотеза каже да када Риеманнова зета функција пређе нулу (осим оних нула између -10 и 0), стварни део комплексног броја мора бити једнак 1/2.
Та мала тврдња можда не звучи веома важно. Али је. А ми смо можда тек тинејџерски мало ближи његовом решавању.
